FOURIER (J.)


FOURIER (J.)
FOURIER (J.)

C’est surtout grâce à la série et à l’intégrale qui portent son nom que le mathématicien français Joseph Fourier est connu du mathématicien et du physicien modernes; mais il a aussi amélioré les techniques d’approximation des racines des équations polynomiales. En fait, ses intérêts furent des plus variés, allant de la physique expérimentale à l’égyptologie.

Jusqu’à l’âge de quarante-sept ans, il partage son temps entre de lourdes tâches administratives et son amour des sciences exactes. Il enseigne quelques années à l’École polytechnique, puis, vers la fin de sa vie, est secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences. Son influence est alors grande sur une génération de jeunes mathématiciens, tels Charles Sturm, Ostrogradsky, Lejeune-Dirichlet et Liouville.

Éléments biographiques

Issu d’un milieu pauvre d’Auxerre, Fourier demeure longtemps inconnu des milieux scientifiques parisiens. Lorsque, en 1789, il envoie à l’Académie un mémoire sur l’approximation des racines des équations polynomiales, la tourmente révolutionnaire voue à l’échec cette première tentative de faire connaître ses travaux. D’ailleurs, la Révolution faillit être très funeste à sa propre personne. Fourier s’éloigne de sa ville natale pour suivre les cours de l’École normale de l’an III. Il s’y fait remarquer de Monge, Laplace et Lagrange et, à la fondation de l’École polytechnique, il est nommé assistant de Lagrange; il lui succédera en 1797. Ses recherches suivent la variété de ses enseignements: des équations numériques à la mécanique rationnelle. En 1798, il accompagne le corps expéditionnaire français en Égypte et manifeste un vif intérêt pour les monuments antiques et leur interprétation, pour le calcul des erreurs d’observations et pour la statistique. En août 1799, il devient administrateur civil de l’Égypte.

De retour en France en 1802, il est nommé par Napoléon préfet à Grenoble. Bon diplomate, Fourier réussit à harmoniser les différentes tendances politiques en présence. Mais le préfet consciencieux reste géomètre. En 1804, il prépare une publication de ses travaux sur les équations numériques qui ne paraîtra que plus tard. Peu après, il édifie sa théorie de la propagation de la chaleur et, en 1807, présente sur ce sujet un mémoire à l’Académie, mémoire que celle-ci couronnera en 1812. À la suite de son attitude ambiguë lors des événements de 1814-1815, il revient à Paris totalement démuni. Heureusement, nommé directeur du Bureau de la statistique du département de la Seine, il peut s’adonner plus librement à ses activités scientifiques. Ce n’est qu’alors qu’il commence à publier régulièrement: théorie de la chaleur, équations numériques, statistiques. En avril 1816, le roi refuse d’entériner son élection comme académicien libre. Il acceptera pourtant, le 21 mai 1817, d’entériner une nouvelle élection, nommant ainsi Fourier membre de la section de physique. Celui-ci fait alors partie de la communauté scientifique et, quelques mois après avoir publié son œuvre majeure, Théorie analytique de la chaleur , devient en 1822 secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences. Il meurt, le 16 mai 1830, laissant près de soixante publications dont une, inachevée, l’Analyse des équations déterminées .

L’œuvre mathématique

L’originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres: d’une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l’importance qui leur revient, d’autre part, la représentation d’une «fonction arbitraire» par une série trigonométrique.

Par exemple, en résolvant l’équation:

avec les conditions aux bornes v (x , 0) = 﨏(x ), définie sur l’intervalle [0, 2 神], il obtient la solution générale (notion mal définie à l’époque):

Pour tenir compte de la condition v (x , 0) = (x ), il faut donc déterminer les valeurs de a 0, des a p et b p , pour que, sur [0, 2 神],

Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, Lagrange avaient rencontré cette difficulté dans le cadre de calculs astronomiques ou de la controverse de la corde vibrante. Mais la confusion qui régnait alors quant à la nature d’une fonction, de sa continuité et de son domaine de définition ne permettaient guère que des essais mal orientés ou mal interprétés. Après quelques tentatives très ingénieuses, Fourier obtient en 1807, par orthogonalité, les coefficients de Fourier:

Jusqu’ici rien de nouveau. Mais deux facteurs lui permirent de franchir une nouvelle étape: c’est d’abord l’interprétation des intégrales comme des surfaces et non comme des expressions liées à un calcul de primitives, ensuite le domaine de définition de 﨏 se trouve physiquement limité à [0, 2 神]. Ainsi, toute fonction arbitraire (penser à la solution générale ) qui possède une surface sous son graphe peut être représentée par une série de Fourier, sur un certain domaine. La distinction s’établit clairement entre la fonction et une expression qui lui est égale sur un domaine donné. Cette vision deviendra problématique lorsque Fourier étendra, en 1822, le sens de fonction: «En général, la fonction f (x ) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire [...]. On ne suppose pas que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune. Elles se succèdent d’une manière quelconque, et chacune d’elles est donnée comme le serait une seule quantité» (art. 417). Mais qu’en est-il alors de la surface sous la courbe, de la nature du domaine de définition? Les travaux de Dirichlet, Riemann, Cantor et combien d’autres, sur l’intégration et la convergence, s’attaqueront à ces problèmes... pour aboutir à la crise des fondements (cf. fondement des MATHÉMATIQUES).

Enfin, l’intégrale de Fourier, ainsi que le théorème de réciprocité, apparaissent dans le mémoire de 1812 par un passage à la limite sur une série de Fourier. Après 1815, Cauchy popularise ce résultat sans connaître ce travail. Notons aussi que l’on doit à Fourier le symbole d’intégration:

La résolution des équations polynomiales par approximation des racines a été au cœur des préoccupations du mathématicien. De ses publications sur ce sujet, toutes postérieures à 1818, deux éléments ont été surtout retenus. Le premier est une généralisation de la règle de Descartes: on appelle nombre de variations de la suite (a i ) le nombre des indices k tels que a i k + 1 et a i k soient de signes contraires. Soit f un polynôme de degré n 閭 0, soit v(x ) le nombre de variations de la suite (f (k ) (x )), où f (0) = f . Si 益 est le nombre de racines de f (x ) = 0 dans l’intervalle [a , b ] tel que f (a ) 0 et f (b ) 0, alors 益 諒 v(b ) 漣 v(a ). En 1829, Charles Sturm [cf. ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique] précise cet énoncé de façon à obtenir exactement 益. La recherche des valeurs propres des équations de la théorie de la chaleur amena Fourier à vouloir généraliser ce théorème aux fonctions transcendantes; d’où, après 1815, une longue polémique avec Poisson.

Fourier associe à ce théorème une méthode pour déterminer le nombre de racines imaginaires «dans» un intervalle, c’est-à-dire v(b ) 漣 v(a ) 漣 益. Il améliore aussi la méthode de Newton pour approximer les racines. Ce que nous appelons aujourd’hui méthode de Newton correspond souvent à la méthode de Fourier. En voulant étendre sa théorie aux polynômes à coefficients polynomiaux, il généralise le parallélogramme de Newton en employant les algorithmes mis au point vers 1820 pour résoudre des systèmes d’inégalités linéaires à n inconnues: en particulier, l’un de ces algorithmes qui correspond à la méthode du simplexe. Malheureusement, cette programmation linéaire avant la lettre, négligée des contemporains, sombra dans l’oubli.

En géométrie pure, Fourier tente de démontrer le cinquième postulat. Tous ses efforts se réfèrent à la statique. Il démontre, pour la première fois semble-t-il, l’équivalence de ce postulat avec le principe du levier. En géométrie différentielle, vers 1800, sous l’influence de Monge, il introduit la notion de torsion. Enfin, son originalité surprend lorsqu’il aborde, entre 1812 et 1820, les espaces de dimension n et y définit diverses «distances», par exemple d (m , n ) = ( (m in i )k )1/k , dont la propriété principale doit être que la droite soit le plus court chemin entre deux points.

S’intéressant à la statistique dès 1798, il sera, après 1816, considéré à l’Académie comme le spécialiste des questions d’assurances, de statistique et de probabilité. Il influença le Belge L. A. J. Quetelet et permit de rendre plus rigoureuse la réglementation des assurances. Son apport mathématique se concentre sur les techniques de calculs des erreurs d’observations.

Œuvre physique

L’importance de la théorie de la chaleur découle aussi de sa partie purement physique, et plus précisément du mode de détermination des équations du mouvement de la chaleur. Fourier a su sortir du bourbier ontologique relatif au «feu» et fonde sa théorie sur cette unique hypothèse que la chaleur ne se communique qu’entre particules contiguës, de la plus chaude vers la plus froide. À cet axiome, il ajoute la loi de Newton: la vitesse de l’échange est proportionnelle à la différence des températures. De là, il définit trois paramètres: la chaleur spécifique, la conductibilité extérieure et la conductibilité intérieure. Il les suppose constants. Poisson, Duhamel et Lamé lèveront ces restrictions. Sa méthode a été imitée avec succès en électromagnétisme par Ohm et Kirchhoff et, pour l’étude de la convection, par lord Rayleigh. Il appliqua sa théorie à l’étude des températures de la Terre et il développa une théorie de la chaleur rayonnante. La théorie de la chaleur a souvent été associée à une première phase du positivisme, et cela dès Auguste Comte; mais on peut se demander, à la lumière de sa situation face à la science laplacienne et de la nature de la théorie de la chaleur rayonnante, si elle mérite bien cette place.

Enfin, Fourier participa aux travaux sur les fondements de la statique qui occupèrent aussi, vers 1798, Lagrange et Prony, puis plus tard Poinsot. Il énonça le principe des travaux virtuels et proposa une démonstration qui repose uniquement sur le principe du levier.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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